土的本構模型的通用性與實用性

土的本構模型的通用性與實用性

楊光華

（廣東省水利水電科學研究院，廣東省巖土工程技術研究中心）

近期思考了一下土的本構模型問題，感覺彈塑性模型比較活躍，很多研究是在劍橋模型上的發展，如改進剪脹方程，改進屈服函數，增加剪切屈服函數，發展雙屈服函數模型，如硬化模型（HS模型），沈珠江的南水模型等，還有為避免確定塑性勢函數和屈服函數的問題，發展廣義塑性模型，即直接定義塑性流動方向和加載方向建立模型。這些模型之間有聯系嗎？細想一下發現，這些模型其實也可以統一用廣義位勢理論來更方便直觀的建立，并從中認識各模型的聯系和假設，對于發展本構模型有啟發，為此寫下一點思考，供大家參考。

土的本構模型是現代土力學的核心，目前尚未很好解決，主要原因一方面是因為土的力學特性復雜，二是缺乏合適的本構理論，三是模型的參數多或者確定不方便，影響應用?，F有的建模方法多是在傳統理論基礎上的改進，像傳統的彈塑性理論，是一種特殊理論，要想很好的用于表述復雜材料會使模型復雜化。由廣義位勢理論可以建立普遍適用和通用的廣義彈塑性模型，在此基礎上，可以依據問題的不同引入假設，簡化模型及參數確定方法，建立簡便實用的本構模型，用于工程，解決本構模型的工程應用問題，提高巖土工程設計水平。

1 前言

土的本構模型是現代土力學的核心，自從1963年發表劍橋彈塑性模型以來，已歷經了近60年的研究，提出了眾多的模型，但能用于工程設計的模型還是缺乏。工程中用本構模型計算的結果主要還是參考，且不同的模型計算結果會不同，甚至還會相差大，說明研究還未成熟。目前總體而言，研究的多，同行公認的模型少，說明還是沒有找到共識的模型。

由于傳統理論的局限性，研究者為適應巖土變形的特殊性，采用不同的擴展方法，以表述巖土不同的變形特性，因其基于的理論和假設不同，建立的本構模型之間難以比較。以彈塑性模型為例，比較受追捧的典型模型有劍橋模型、硬化（HS）模型、廣義塑性模型、雙屈服面模型等，每一個模型依據的理論假設可能不很清楚或不同，如有用關聯流動法則的，有用非關聯流動法則的，也有直接定義流動方向的，有用一個屈服函數的，有用兩個屈服函數的，甚至不同模型基于不同的理論基礎，各自也都有試驗驗證，都表述了一定的變形特點，但難以互相比較。由于缺乏一個統一的理論和比較的基礎，以致模型越來越復雜，參數也越來越多，概念也越來越多而復雜，工程師望而生畏，影響工程應用。

而巖土工程本身也并非是精確科學，正如太沙基所言是一門藝術科學，難以精確，過于追求精確，會使本構模型復雜，參數多，難以實用。因此，探求安全實用的本構模型，也即模型簡單、參數易確定、能反映土的主要變形特點的安全實用模型可能是解決本構模型目前曲高和寡、難以工程應用的一個出路。

能否有一個理論可靠、假設清楚的統一建模理論？而不同的模型則在統一理論模型下通過假設進行簡化，進而建立實用模型，解決模型的工程應用問題？這樣就可以清楚不同模型所做的假設，具有可比較性。這是很有意義的一個問題。

2 建立本構模型的統一理論—廣義位勢理論及其模型

2.1廣義位勢理論

目前用于建立土的本構模型的主要理論是傳統的彈塑性理論和非線性彈性理論，而目前建立彈塑性模型也有各種理論，如關聯流動、非關聯流動、廣義塑性理論、雙屈服面甚至多屈服面等。那么這些理論的基礎是什么？如果不同模型的建模理論不同，則難以比較，不同模型似乎有點盲人摸象一樣，各自都對但都不是全面審視，也不清楚理論假設對結果的影響，因此，需要有統一的建模理論，建立現有不同建模理論的關系，才可能提高認識，尋找共識模型。

從廣義位勢理論出發，土的建模理論有兩大類，彈塑性和彈性。按增量模型考慮，彈性模型是用彈性分解準則建模，其假設應變增量主軸方向與應力增量主軸方向相同，而塑性模型是用塑性分解準則建模，其假設塑性應變增量主軸方向與應力總量主軸方向相同。當存在塑性應變增量方向與應力增量方向相關時，可以把其認為是似彈性的塑性應變，也即符合彈性模型的塑性應變，采用彈性分解準則建模。

所謂分解準則是指本構模型是在主空間上建立，再通過數學上的坐標變換方法分解到六維空間的應力應變關系。

應力空間的塑性分解準則為：

                  （1）

、（k = 1, 2, 3）——為主空間的三個塑性增量主應變和全量主應力。

把（k = 1, 2, 3）看作為三維主空間的一個三維矢量，則可以用三個線性無關的勢函數梯度矢量擬合塑性應變增量的矢量：

   （j,k=1,2,3）           （2）

(2)式代入(1)式，即得：

                     （3）

此即為可用于建立彈塑性本構模型的普遍理論，當矢量為一個有勢場時，則可用單一勢函數表示三維矢量。

                    （4）

代入(1)即得傳統的塑性位勢理論：

                   （5）

可見傳統的塑性位勢理論是假設了是滿足一個有勢場的條件的。

彈性理論的分解準則就是廣義虎克定律。

依據廣義位勢理論，可以建立統一的彈塑性本構方程：

                   （6）

從廣義位勢理論中可以得到彈塑性模型的統一通用表達式：

                    （7）

——為彈性矩陣

——為塑性矩陣

由以上統一的彈塑性本構方程，當A、B、C、D四個參數確定方法的不同，即可得到不同的彈塑性本構模型，從而可以對不同模型的適應性進行一定的評判。

當，則為傳統的關聯流動法則彈塑性模型，彈塑性矩陣是對稱矩陣。

當，則為傳統的非關聯流動彈塑性模型。

物理意義上為塑性應變增量方向與應力增量方向無關，數學上就是（1）式表述的意義。

若，則表示塑性應變增量方向與應力增量方向有關，理論上應該分解出部分擬彈性的塑性應變，建立擬彈性塑性模型，這樣模型可以反映塑性應變增量方向與應力增量方向相關的特性。

在p-q空間上，A、B、C、D四個參數為：

考慮彈性變形后，則為：

K_e、G_e為彈性體積模量和剪切模量，也可用彈性模量E和泊松比v表達。

或可寫成：

實際上，不同的彈塑性模型就是A、B、C、D四個參數確定的不同方法，劍橋模型、廣義塑性模型、雙屈服面模型也可以歸結為確定這四個參數的一種方法，這樣不同模型就可以比較了。

2.2 類劍橋模型

這類模型其實就是傳統關聯流動的彈塑性模型，關聯流動已滿足AD-BC=0，B=C。理論上確定四個參數要四個獨立方程，但關聯流動提供了兩個方程，因此，只要再補充兩個方程即可。劍橋類模型是利用三向壓縮試驗確定，再根據土的變形特性設定剪脹方程 即可以得到。

例如：劍橋模型中，由三向壓縮試驗dq=0，可以得到，考慮在破壞線上，，p軸，設為，，求得B、D則可得到劍橋模型。

修正劍橋模型：

在p軸時，，不合理，為此可設定，就得到修正劍橋模型，此時時，，，比劍橋模型合理。

修正劍橋模型僅是調整了剪脹方程。

各種類劍橋模型剪脹方程合理假設是：

 ① p軸，M軸。

② 在p軸與M軸之間時，與有關。

圖1 各種類劍橋模型假設示意圖

當然，也可通過試驗來獲取更符合不同土特性的剪脹方程，因此，各種類劍橋模型或擴展的劍橋模型其實就是剪脹方程的不同。劍橋模型剪脹方程主要是考慮剪縮，如果剪脹方程又考慮到剪脹，就可以擴展用于砂土。劍橋模型把剪脹和應力比建立關系，理論上要進行不同應力比的剪切試驗，才可以得到較好的擬合試驗方程，試驗相對復雜一些。

一些同行應用Zieniekwicz的廣義塑性理論，用定義的流動方向代替塑性勢函數和屈服函數確定的困難建立廣義塑性模型，其實也可以由廣義位勢理論模型得到，廣義塑性模型建立了與塑性勢函數對應的剪脹方程=d_g，同時定義了類似d_g的與屈服函數對應的剪脹方程d_f，d_f=，為屈服函數 ，，說明是非關聯流動。非關聯相當于B≠C，對于p-q空間上，相當于補充一個方程B/C=d_g/d_f，這樣由AD-BC=0，由壓縮試驗確定A，再加上剪脹方程d_g，四個方程可以確定ABCD四個參數而建立本構方程。

關聯類劍橋模型在描述剪縮土時相對較簡單，剪脹方程概念明確，壓縮試驗較易實現、參數少，是一個優秀模型。

2.2 依據Duncan-Chang模型的廣義彈塑性模型

Duncan-Chang模型也是一個優秀模型，其假設常規三軸試驗的應力應變曲線可用雙曲線方程表示，通過常規三軸試驗確定土的兩個模量：切線模量E_t、泊松比的非線性關系。用E_t、即可以確定A、B、C、D這四個參數，建立廣義位勢理論基礎上的廣義彈塑性模型。在關聯流動條件下：

常規三軸試驗條件下，由式（10）、（11）可得：

由（14）（15）（16）（17）4個方程即可解得用E_t、表述的A、B、C、D，代回以上（7）式即得廣義彈塑性模型。

當時，則表示剪脹，如果有合適的表達式，能表達土的剪縮和剪脹，則由此得到的模型就可以適用于剪脹性砂土的模型。，易于判斷其合理性。有較明確概念，物理意義明確，范圍值明確，用表示剪縮剪脹特性，也是一個很好的參數。

硬化土模型（HS）也是一個雙屈服面模型，其實質就是用常規三軸試驗所得的應力應變雙曲線方程求Et，用劍橋模型的壓縮試驗求參數A代替，在關聯流動條件下求解A、B、C、D四個參數。該模型提出了一套確定具體Et、A的方法，參數物理意義好，得到較廣泛的應用。

沈珠江的雙屈服面模型其實質也是用E_t、  兩個參數表示的彈塑性模型，在滿足(14)(15)的關聯條件下，與上面(16)(17)用E_t、描述的A、B、C、D四個參數的模型是一致的。

由于土的常規三軸試驗所得的應力應變曲線試驗較符合雙曲線方程，試驗簡單，參數直觀，由此確定的模型參數在反映壓硬剪軟性較直觀可靠。Duncan-Chang模型通常是建立于廣義虎克定律上的非線性彈性模型，但在廣義位勢理論基礎上，也可方便用于建立彈塑性模型。

2.3 數值彈塑性模型

也可以直接用數學函數擬合應力應變曲線，依據E_t、的定義求擬合曲線的切線，即可獲得不同應力狀態下的E_t、，代替Duncan-Chang模型用雙曲線擬合試驗曲線獲得的E_t、，這樣可以適應更廣泛的試驗曲線。這時，只要有實驗曲線，即可擬合并求得E_t、用于建立廣義彈塑性模型，更具有通用性。

2.4 K-G彈塑性模型

通常的彈性K-G模型獲得得一般關系為：

如進一步分解塑性應變增量

對比式 (8)、(9)和式 (20)、 (21)，即可得到廣義彈塑性模型中A、B、C、D四個參數：

這時并沒有對A、B、C、D四個參數采取約束，其結果可能是不滿足關聯流動，即非關聯流動的，也可能更能反映土與金屬材料不同的變形特性。對三參數K-G模型，。因此，用以往非線性彈性的K-G模型，結合廣義位勢理論，可以很方便的建立彈塑性模型。而以往的K-G模型用廣義虎克定律建模時，很難破解存在K₂和G₁項的困難，只有沒有這兩項時，才方便用廣義虎克定律建模，為此，高蓮士教授等提出了K-G解耦模型，程展林等構建了類似彈塑性的矩陣。

3 實用本構模型

土的力學特性是復雜的，要全面表述土的本構特性的模型可能是較復雜的，但在一些特定受力條件土的變形特性相對可能又是簡單的。對于一些特定的巖土工程問題，建立相應的簡單實用模型更能解決問題。如地基沉降模型，在大面積荷載下主要是壓縮變形，可以用一維壓縮模型即可；對于基礎沉降，可以依據壓板載荷試驗曲線，建立相匹配的切線模量法，既簡單又實用，比復雜模型更可靠；對基坑支護、對填筑的壩體，可以建立與其應力路徑相近的實用本構模型，對工程計算可能是更可靠實用的。這就可以在前面的廣義位勢理論的統一通用模型下，通過簡單而接近實際巖土工程問題的應力路徑的試驗來建立實用模型，更有效又方便。

另一方面，土的本構模型參數主要是依據室內實驗確定的。由于土體是天然形成的材料，對于具有較強結構性的土，取樣試驗存在擾動性，使得室內土樣試驗獲得的參數與現場實際原狀土參數存在較大差異，這就使得依據室內試驗建立的本構模型在實際工程應用時存在較大差異，影響其準確性。

因此，要使本構模型在工程中得到較好的應用，應要解決模型理論的可靠性、參數的可靠性，才能提高模型應用的準確性。

按廣義位勢理論建立的統一通用模型具有理論基礎的普遍性，假設清晰、理論可靠、參數確定靈活的特點。由以上的分析可知，現有的各種彈塑性本構模型都可以由廣義位勢模型得到，要建立簡化模型，可以在廣義位勢模型基礎上，根據工程需求，進一步簡化，建立簡化實用模型。

3.1 原位土沉降計算模型

按廣義位勢模型，當假設為關聯流動時，需補充兩個參數。沉降問題主要是壓硬性和剪軟性?？梢杂迷煌恋那芯€模量來解決：

                          （22）

或：

                  （23）

另一個參數是泊松比，對于一般非飽和土，可簡單取為，則由E_t、即可構建簡化實用沉降模型，由于基礎沉降是單一單調加載，加載過程應力主方向變化不大，也可以用彈性分解準則建立非線性彈性模型。這樣的模型只含有E_t、兩個參數，如果影響不大，可設為常數，這樣只有E_t，計算E_t的有關參數為E₀、c、，或增加m，可用現場原位試驗確定，參數少，其取值范圍也有豐富經驗值，從而可保證參數的可靠性，有了理論和參數的可靠性，模型的準確性就有了保障。

4 結語

(1)   土的本構模型很重要，但現有的模型還是過于復雜，工程應用不夠方便，影響了現代土力學理論的工程應用。造成這一原因之一是缺乏合適的建模理論，用傳統理論較難全面反映巖土的變形特性，因而采用在現有基礎上不斷的修正和堆砌，使模型和概念越來越復雜，這猶如在現有天然地基的房子上增層加高，如果不改變基礎，加層是有限的一樣。

(2)   廣義位勢理論是從數學原理出發建立的一套表述理論，具有普遍性和通用性，通過物理假設，可以退化為現有的各種理論，數學原理清楚、可靠，適合和方便于建立巖土復雜材料的本構模型。

(3)   通過廣義位勢理論可以得到統一通用的彈塑性本構模型方程—廣義位勢塑性模型，無需塑性勢函數，各種塑性模型均可在此基礎上得到，如關聯模型、非關聯模型、剪脹模型、雙屈服面模型、主軸旋轉模型等，可以通過ABCD四個參數來反映得到。也可以根據工程需求，通過對ABCD四個參數的假設，靈活方便地建立實用本構模型，為工程應用提供方便。廣義位勢理論用于建立土的本構模型大有可為，尚未被充分認識和應用，值得探索與發展。

(4)   各種雙屈服面模型可以看作是廣義位勢塑性模型用E_t、表述ABCD參數的模型。E_t、參數物理意義明確，較好反映了土的主要變形特性，用于廣義位勢理論建立的彈塑性模型概念簡單直觀、假設清楚、理論可靠、參數少，當＞0.5時還可以反映剪脹性，應該是有較好應用價值的模型。如要建立更復雜的精細化模型，廣義位勢理論提供了較好的理論基礎。

(5)   土的本構模型雖然歷經近60年的發展，但要更好的用于工程，提高行業水平，關鍵是要建立實用可靠的模型，應針對不同問題建立實用模型。實用模型要反映土的主要變形特點，理論可靠，參數易于確定，有明確的物理意義，取值易于判斷，以保證參數的可靠性和理論的可靠性。如切線模量法，能較好反映土的壓硬剪軟特性，僅用三個參數E_t0、c、，達到參數簡便、取值易判斷的效果，有望為工程提供有效的應用，提高現代土力學理論的應用。

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